Notice: Function _load_textdomain_just_in_time was called incorrectly. Translation loading for the wp-statistics domain was triggered too early. This is usually an indicator for some code in the plugin or theme running too early. Translations should be loaded at the init action or later. Please see Debugging in WordPress for more information. (This message was added in version 6.7.0.) in /var/www/html/wp-includes/functions.php on line 6114 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /var/www/html/wp-includes/functions.php:6114) in /var/www/html/wp-includes/rest-api/class-wp-rest-server.php on line 1893 {"id":538,"date":"2022-04-27T16:11:48","date_gmt":"2022-04-27T16:11:48","guid":{"rendered":"https:\/\/mathfest.mathi.uni-heidelberg.de\/?page_id=538"},"modified":"2022-06-09T08:27:25","modified_gmt":"2022-06-09T08:27:25","slug":"die-mathematiker","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/mathfest.mathi.uni-heidelberg.de\/de\/die-mathematiker\/","title":{"rendered":"Mathematiker"},"content":{"rendered":"\n

Einige der Hauptcharaktere dieser Geschichte …<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n

Henri Poincar\u00e9<\/strong><\/strong> (1854-1912) war in allen Teilgebieten der Mathematik erfolgreich, die es zu seiner Lebenszeit gab. Unter seinen Errungenschaften in der Topologie waren die abstrakte Definition von Homotopie und Homologie und die Einf\u00fchrung vieler fundamentaler Konzepte zur Untersuchung von Formen im Raum. Er formulierte die nun nach ihm benannte Poincar\u00e9-Vermutung<\/em> in 1904 bei seiner Arbeit zur Klassifikation von Mannigfaltigkeiten, als er bemerkte, dass die drei-dimensionalen Mannigfaltigkeiten spezielle Schwierigkeiten mit sich brachten. Diese Vermutung wurde eine der wichtigsten Fragestellungen in der algebraischen Topologie und der ganzen Mathematik f\u00fcr die n\u00e4chsten hundert Jahre.<\/p>\n\n\n\n

[Wikipedia]<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n

William Thurston<\/strong> (1946-2012) revolutionierte die Theorie der drei-dimensionalen Mannigfaltigkeiten durch seine Beobachtung, dass hyperbolische Geometrie sehr wichtig f\u00fcr die Untersuchung von drei-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ist. Einige seiner neuen Ideen f\u00fchrten zu seiner Formulierung der Geometrisierungsvermutung<\/em>, welche besagt, dass alle drei-dimensionalen Mannigfaltigkeiten eine gewisse geometrische Zerlegung in Bl\u00f6cke von acht m\u00f6glichen Geometrien zulassen, welche heute Thurston-Modellgeometrien<\/em> genannt werden. Eine der Geometrien in dieser Klassifikation ist die sph\u00e4rische Geometrie, und ein Beispiel daf\u00fcr die drei-dimensionale Sph\u00e4re. Daran kann man erkennen, dass aus einem Beweis der Geometrisierungsvermutung auch ein Beweis der Poincar\u00e9-Vermutung gefolgert werden kann.<\/p>\n\n\n\n

[Wikipedia]<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n

Richard S. Hamilton<\/strong> (geb. 1943) f\u00fchrte gewisse partielle Differentialgleichungen f\u00fcr die Riemannsche Metrik einer Mannigfaltigkeit ein, genannt Ricci-Fluss<\/em>, und benutzte sie, um bemerkenswerte neue Ergebnisse in der Riemannschen Geometrie zu beweisen. Auf einen Hinweis von Sing-Tung Yau hin, dass die Singularit\u00e4ten der L\u00f6sungen des Ricci-Flusses die vorhergesagten topologischen Daten von Thurstons Geometrisierungsvermutung bestimmen k\u00f6nnten, ver\u00f6ffentlichte Hamilton einige tiefgehende Ergebnisse in den 1990er-Jahren in die Richtung der abschlie\u00dfenden Aufl\u00f6sung der Vermutung.<\/p>\n\n\n\n

[Wikipedia]<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n

Grigori Perelman<\/strong> (geb. 1966) bewies einige neue, fundamentale Ergebnisse zum Ricci-Fluss, unter anderem eine neuartige Variante zu einigen technische Aspekten von Hamiltons Ideen, insbesondere, wie man einen Ricci-Fluss mit \u201eChirurgie\u201c in drei Dimensionen konstruiert, indem man systematisch singul\u00e4re Regionen herausschneidet, sobald sie entstehen. Damit zeigte er, dass auf jedem Raum, der die Voraussetzungen der Poincar\u00e9-Vermutung erf\u00fcllt, der Ricci-Fluss mit Chirurgie nur f\u00fcr eine endliche Zeit existiert, weshalb der subtilere Fall der unendlichen Zeitanalyse des Ricci-Flusses (welcher zu einem Beweis der Geometrisierungsvermutung f\u00fchrt) irrelevant f\u00fcr dieses Problem ist. Dadurch konnte Perelmans Konstruktion des Ricci-Flusses mit Chirurgie genutzt werden, um die Poincar\u00e9-Vermutung als Korollar zu zeigen. Nichtsdestotrotz wurden seine Ideen zum Ricci-Fluss mit Chirurgie und unendlicher Zeit in der gemeinsamen Arbeit von anderen Mathematiker*Innen vervollst\u00e4ndigt, und somit wurde auch die Geometrisierungsvermutung schlussendlich gel\u00f6st. In Jahr 2010 wurde Perelman mit dem Millennium-Preis f\u00fcr seine Erfolge ausgezeichnet, welchen er dem Clay-Institut gegen\u00fcber aber ablehnte, da sein Beitrag zur L\u00f6sung nicht gr\u00f6\u00dfer als der von Hamilton gewesen sei.<\/p>\n\n\n\n

[Wikipedia]<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Eine lange Reise besteht aus vielen einzelnen Schritten …<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n

Max Dehn <\/strong>(1878-1952) leistete wichtige Beitr\u00e4ge zur kombinatorischen Topologie, ein alter Name f\u00fcr ein Gebiet, das heute als algebraische Topologie bekannt ist. Er arbeitete an einem Beweis der Poincar\u00e9-Vermutung, bald nachdem sie 1904 von Poincar\u00e9 aufgestellt worden war, und 1908 glaubte er, einen Beweis daf\u00fcr gefunden zu haben, aber Heinrich Tietze fand bald darauf einen Fehler darin. Im Jahr 1910 ver\u00f6ffentlichte Dehn einen bahnbrechenden Artikel, in welchem er einen Bohren-und-F\u00fcllen-Prozess einf\u00fchrte, der heute Dehn-Chirurgie genannt wird, mit dem man Poincar\u00e9-R\u00e4ume konstruieren kann, also nicht einfach zusammenh\u00e4ngende drei-dimensionale Mannigfaltigkeiten mit der gleichen Topologie wie die dreidimensionale Sph\u00e4re. Er bewies auch eine Aussage, heute als Dehns Lemma bekannt, welche man als wichtigen Schritt zum Beweis der Poincar\u00e9-Vermutung betrachtete, aber Hellmuth Kneser fand 1929 eine L\u00fccke im Beweis. <\/p>\n\n\n\n

[Wikipedia]<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n

Henry Whitehead<\/strong> (1904-1960) wird als einer der Pioniere der Homotopietheorie betrachtet. In seinen Bem\u00fchungen, die Poincar\u00e9-Vermutung zu beweisen, entdeckte er ein r\u00e4tselhaftes Objekt, die heute so genannte Whitehead-Mannigfaltigkeit<\/em>. Sie ist eine offene drei-dimensionale Mannigfaltigkeit, die zusammenziehbar ist, aber nicht hom\u00f6omorph zum drei-dimensionalen Raum. Tats\u00e4chlich kam die Entdeckung aus der Korrektur eines Fehlers in einem fr\u00fcheren Artikels von ihm, in dem er behauptete, dass keine solche Mannigfaltigkeit existieren k\u00f6nnte.<\/p>\n\n\n\n

[Wikipedia]<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n

Christos Papakyriakopoulos<\/strong> (1914-1976) arbeitete haupts\u00e4chlich in niedrig-dimensionaler Topologie und konzentrierte sich auf Dehns Lemma, welches viele nach Knesers Entdeckung einer L\u00fccke in dem Beweis als m\u00f6glicherweise falsch in seiner Formulierung ansahen. Im Jahr 1957 stellte Papakyriakopoulos einen richtigen Beweis f\u00fcr Dehns Lemma vor, wodurch er einen neuen Abschnitt an drastischen Entwicklungen in der 3-Mannigfaltigkeiten-Theorie er\u00f6ffnete. Sein Beweis basierte auf der sogenannten Turm-Konstruktion<\/em> von \u00dcberlagerungen und, durch \u00e4hnliche Methoden, bewies er auch ein weiteres wichtiges Resultat bekannt als Sph\u00e4rensatz<\/em>. Diese beiden Resultate, zusammen mit dem von ihm im gleichen Jahr bewiesenen Schleifensatz<\/em>, bedeuteten die L\u00f6sung von drei fundamentalen Problemen in der niedrig-dimensionalen Topologie der ersten H\u00e4lfte des 20. Jahrhunderts. Deshalb hofften viele Mathematiker*Innen, dass ein Beweis der Poincar\u00e9-Vermutung endlich umsetzbar war. Papakyriakopoulos widmete den Rest seines Lebens einzig dieser Fragestellung, jedoch ohne sein begehrtes Ziel zu erreichen.<\/p>\n\n\n\n

[Wikipedia]<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n

John Stallings<\/strong> <\/strong>(1935-2008) machte ebenfalls wichtige Beitr\u00e4ge zur niedrig-dimensionalen Topologie und der geometrischen Gruppentheorie. Im Jahr 1960 bewies er die Poincar\u00e9-Vermutung in Dimensionen gr\u00f6\u00dfer sechs, unabh\u00e4ngig von und kurz nach Stephen Smale, der den gleichen Schluss in Dimensionen gr\u00f6\u00dfer vier gezeigt hatte. Sein ber\u00fchmter Faserungssatz<\/em> war ein wertvoller Beitrag zur 3-Mannigfaltigkeiten-Topologie. Des Weiteren, ver\u00f6ffentlichte er 1965 einen Artikel “How not to prove the Poincar\u00e9 conjecture” (\u201eWie man die Poincar\u00e9-Vermutung nicht beweist\u201c). Dort gibt er humorvoll zu, dass er selbst einen fehlerhaften Beweis der Poincar\u00e9-Vermutung entworfen hatte (dieser wurde jedoch nie ver\u00f6ffentlicht). Stallings stellte eine gruppentheoretische Umformulierung der Vermutung vor, welche zu darauffolgenden Untersuchungen der algebraischen Aspekte der Vermutung f\u00fchrte.<\/p>\n\n\n\n

[Wikipedia]<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n

R. H. Bing<\/strong> (1914-1986) arbeitete fast ausschlie\u00dflich mit drei-dimensionalen Mannigfaltigkeiten und der Ausdruck \u201eTopologie im Stil von Bing\u201c bezieht sich heutzutage auf seine Methoden. Bing machte einige gro\u00dfe, jedoch nicht erfolgreiche, Bem\u00fchungen, um die Poincar\u00e9-Vermutung anzugehen, wodurch er zum Ruf der Vermutung beigetragen hat, sehr schwierig zu sein. Er initiierte Forschung zu der sogenannten P-Eigenschaft-Vermutung als eine m\u00f6glicherweise einfacher anzugehende Version der Poincar\u00e9-Vermutung. Die P-Eigenschaft-Vermutung ist eine Aussage \u00fcber drei-dimensionale Mannigfaltigkeiten, welche man durch Dehn-Chirurgie an einem Knoten in der drei-dimensionalen Sph\u00e4re erh\u00e4lt, und wurde als erster Schritt betrachtet, die Poincar\u00e9-Vermutung zu l\u00f6sen. Die P-Eigenschaft-Vermutung wurde 2004 endlich bewiesen, aufbauend auf vielen einzelnen Bem\u00fchungen von Mathematiker*Innen, nur ein Jahr, nachdem Perelman seinen Beweis der Poincar\u00e9-Vermutung verk\u00fcndet hatte.<\/p>\n\n\n\n

[Wikipedia]<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n

Wolfgang Haken<\/strong> (geb. 1928) leistete beachtliche Beitr\u00e4ge zur Theorie von drei-dimensionalen Mannigfaltigkeiten und ist einer der Pioniere der algorithmischen Topologie. Innerhalb einiger Jahre nach dem Durchbruch von Papakyriakopoulos arbeitete Haken auch an der Poincar\u00e9-Vermutung und machte erheblichen Fortschritt darin, ziemlich allgemeine drei-dimensionale Mannigfaltigkeiten zu verstehen. Insbesondere l\u00f6ste Haken in 1961 das \u201eEinfachheit-Problem\u201c f\u00fcr Knoten, und basierend auf diesem Erfolg, machte Friedhelm Waldhausen weiteren Fortschritt, indem er die Klasse der Graphenmannigfaltigkeiten<\/em> in 1967 einf\u00fchrte.<\/p>\n\n\n\n

[Wikipedia]<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Eine gro\u00dfe Anzahl an bekannten Mathematiker*Innen arbeitete in den 1960er- und 1970er-Jahren an den Eigenschaften von 3-Mannigfaltigkeiten und erstellte einige wichtige Beispiele, die dabei halfen, das Verst\u00e4ndnis von 3-Mannigfaltigkeiten zu verbessern. Inspiriert durch diese Beispiele entwickelte William Thurston eine reichhaltige Theorie der hyperbolischen Mannigfaltigkeiten und formulierte sein endg\u00fcltiges Bild in einer Vermutung zu 3-Mannigfaltigkeiten, ausgedr\u00fcckt in seiner ber\u00fchmten Geometrisierungsvermutung<\/em> und einer Liste von acht m\u00f6glichen Modellgeometrien. Die Anstrengungen, die Geometrisierungsvermutung zu beweisen, waren schlie\u00dflich erfolgreich, und so wurde die L\u00f6sung zu der Poincar\u00e9-Vermutung im Jahre 2003 schlie\u00dflich Wirklichkeit.<\/p>\n\n\n\n

\u00dcber drei Dimensionen hinaus …<\/h2>\n\n\n\n

Die Verallgemeinerte Poincar\u00e9-Vermutung<\/em> sagt aus, dass eine Mannigfaltigkeit, die eine Homotopie-Sph\u00e4re ist, auch schon eine Sph\u00e4re ist. Hier meinen wir bei einer Homotopie-Sph\u00e4re eine geschlossene n-Mannigfaltigkeit welche homotop zu einer n-Sph\u00e4re ist. Genauer gesagt, legen wir uns auf eine Kategorie von Mannigfaltigkeiten fest wie die Topologischen (Top<\/strong>), die St\u00fcckweis-Linearen (PL<\/strong>) oder die Differenzierbaren (Diff<\/strong>), dann ist die Aussage die folgende:<\/p>\n\n\n\n

Jede Homotopie-Sph\u00e4re in der gew\u00e4hlten Kategorie (Top<\/strong>, PL<\/strong>, Diff<\/strong>) ist in dieser isomorph zu der n-Einheitssph\u00e4re.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Beachte dabei, dass f\u00fcr topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension drei, eine Homotopie-Sph\u00e4re bereits \u00e4quivalent dazu ist, einfach zusammenh\u00e4ngend und abgeschlossen zu sein, weswegen sich die Aussage dort auf die Poincar\u00e9-Vermutung reduziert. Es ist bekannt, dass die Verallgemeinerte Poincar\u00e9-Vermutung in einigen F\u00e4llen wahr oder falsch ist, dank der Arbeit von vielen Mathematiker*Innen.<\/p>\n\n\n\n

Hier nun eine Zusammenfassung zum Stand der Verallgemeinerten Poincar\u00e9-Vermutung in verschiedenen Umgebungen:<\/p>\n\n\n\n