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Poincar\u00e9-Vermutung<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Wenn es wie eine Kugel aussieht und sich wie eine Kugel anf\u00fchlt, ist es dann wirklich eine Kugel?<\/strong><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

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In der Wissenschaft geht es oft darum, Naturph\u00e4nomene und Objekte zu verstehen, indem man herausfindet, wann diese \u00e4hnlich sind und wann nicht. Chemikerinnen und Chemiker teilen die chemischen Elemente in einem Periodensystem ein und Biologinnen und Biologen nutzen die beobachtbaren Eigenschaften von Pflanzen und Tieren, um die verschiedenen Spezies zu beschreiben. In einem \u00e4hnlichen Sinne sind manche Mathematikerinnen und Mathematiker<\/em> daran interessiert, herauszufinden, wann bestimmte Formen<\/strong> sich \u00e4hnlich oder komplett verschieden sind.<\/p>\n\n\n\n
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Mathematik umgibt uns \u00fcberall – in einer B\u00e4ckerei, der K\u00fcche, einem Spielplatz\u2026<\/h3>\n\n\n\n
Hier sind ein paar allt\u00e4gliche Gegenst\u00e4nde, die wir intuitiv nach bestimmten strukturellen Eigenschaften einteilen k\u00f6nnen:<\/p>\n\n\n\n
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Group 0<\/strong><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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Group 1<\/strong><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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Group 2<\/strong><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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Group 3<\/strong><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
Alle Objekte in den Bilder befinden sich im dreidimensionalen Raum. Wenn wir sie als gef\u00fcllt ansehen (uns den Apfel also mit seiner Schale und dem Fruchtfleisch vorstellen), dann sind dies selber auch dreidimensionale Objekte. Wir wollen uns heute aber nur den Rand eines solchen Objekts anschauen (nur die Schale des Apfels), das ergibt eine zweidimensionale Fl\u00e4che im dreidimensionalen Raum<\/strong>. Hier ist nun ein kleines R\u00e4tsel f\u00fcr dich:<\/p>\n\n\n\n
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<\/i><\/i><\/span>Was unterscheidet die Objekte in Gruppe 0 von den Objekten in den anderen Gruppen?<\/strong><\/span><\/span><\/div>
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Die Anzahl ihrer “L\u00f6cher”! Die Objekte in Gruppe 0 haben null L\u00f6cher, die Objekte in Gruppe 1 haben ein Loch, und so weiter.<\/strong><\/p><\/div><\/div>\n<\/div><\/div><\/div>\n<\/div><\/section>\n\n\n\n
Die intuitive Idee, dass Objekte “L\u00f6cher haben” wurde von Henri Poincar\u00e9 zum ersten Mal mathematisch pr\u00e4zise formuliert. Seine Arbeit hatte einen starken Einfluss auf das mathematische Gebiet der Topologie<\/strong>, das sich allgemeiner mit dem Raum und den darin enthaltenen Punkten besch\u00e4ftigt (Topologie ist vom griechischen Word “\u03c4\u03cc\u03c0\u03bf\u03c2”=”Ort” abgeleitet).<\/p>\n\n\n\n
Diese pr\u00e4zisere mathematische Charakterisierung der Gruppe 0 nutzt die folgende Definition der “Lasso-Eigenschaft”<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n
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Lasso-Eigenschaft:<\/strong> Wir stellen uns vor, wir binden ein elastisches Band in einer Schlaufe entweder um eine Sph\u00e4re (die Oberfl\u00e4che von einem Ball) oder um einen Torus (die Oberfl\u00e4che von einem Donut), so wie man es in den Illustrationen links sehen kann.

Wir sehen, dass man man auf der Sph\u00e4re das Band immer zusammenziehen kann, so dass es von der Sph\u00e4re rutscht. Auf dem Torus dagegen k\u00f6nnen wir das Band so darumbinden, dass es nicht vom Torus abgenommen werden kann (au\u00dfer wir zerschneiden den Torus oder zerrei\u00dfen das Band).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Allgemeiner gilt sogar, dass sich alle zweidimensionalen Formen<\/strong> unterscheiden lassen, indem wir die Anzahl der L\u00f6cher betrachten – ebenso wie bei den Beispielen von Formen, die wir oben betrachtet haben. F\u00fcr Mathematikerinnen und Mathematiker ist das sehr zufriedenstellend, da wir sogar jedes zweidimensionale Objekt so verformen k\u00f6nnen, dass es eine bestimmte Form (mit der richtigen Anzahl L\u00f6cher) hat wie in den vorigen Beispielen. Topologisch betrachtet, sind ein Torus und ein Becher also gleich.
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Verformung eines Torus zu einem Becher (Bild eines 3D-Drucks von HEGL).<\/strong><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n
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Verlassen wir nun die zweidimensionale Welt…<\/h2>\n\n\n\n
K\u00f6nnen wir auf eine \u00e4hnliche Weise auch kompliziertere Formen verstehen, zum Beispiel die Formen von dreidimensionalen Objekten? Wie sehen denn \u00fcberhaupt dreidimensionale Objekte aus? Hier ist ein Beispiel eines endlichen, dreidimensionalen Objekts, das wir dreidimensionale Sph\u00e4re<\/strong> nennen.
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Was ist eine zweidimensionale Sph\u00e4re?<\/strong><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n
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Und hier ist jetzt eine dreidimensionale Sph\u00e4re…<\/strong><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n
Bemerkenswerterweise hat die dreidimensionale Sph\u00e4re auch die Lasso-Eigenschaft, das hei\u00dft, sie hat keine L\u00f6cher!
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Poincar\u00e9-Vermutung – ist die dreidimensionale Sph\u00e4re besonders?<\/h2>\n\n\n\n
Ist die dreidimensionale Sph\u00e4re das einzige dreidimensionale Objekt mit der Lasso-Eigenschaft? Im Jahr 1904 hat Poincar\u00e9<\/a> die folgende Vermutung aufgestellt:<\/p>\n\n\n\n
Ja, die dreidimensionale Sph\u00e4re ist das einzige dreidimensionale Objekt mit der Lasso-Eigenschaft!<\/strong><\/p>Henri Poincar\u00e9 <\/strong>(<\/em>1904)<\/em><\/cite><\/blockquote><\/figure>\n\n\n\n
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Was feiern wir denn nun?<\/h2>\n\n\n\n
Den endg\u00fcltigen Beweis der Poincar\u00e9-Vermutung!<\/strong> Nachdem sich Mathematikerinnen und Mathematiker fast ein Jahrhundert daran die Z\u00e4hne ausgebissen haben, wurde die Vermutung 2003 endlich von Grigori Perelman<\/strong> bewiesen. Diese unglaubliche Leistung wurde von ihm erbracht, indem er eine eigentlich noch viel schwierigere Vermutzung bewiesen hat, die sogenannte Geometrisierungs-Vermutung<\/strong> von William Thurston. In dieser allgemeineren Vermutung geht es darum, eine vollst\u00e4ndige Liste aller m\u00f6glichen dreidimensionalen Formen<\/em> zu erstellen. Auch das ist wieder eine Frage, die analog zum zweidimensionalen Fall gestellt werden kann, aber viel schwieriger ist. <\/p>\n\n\n\n
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Hier sind noch ein paar andere Beispiele dreidimensionaler Objekte – unser Universum k\u00f6nnte potentiell jede dieser Formen haben!<\/strong><\/figcaption><\/figure><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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